Среднее арифметическое взвешенное

Сре́днее арифмети́ческое взве́шенное — математическое понятие, обобщающее среднее арифметическое. Среднее арифметическое взвешенное набора чисел $x_{1},\ldots ,x_{n}$ с весами $w_{1},\ldots ,w_{n}$ определяется как

${\bar {x}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}\cdot x_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}={\dfrac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\ldots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\ldots +w_{n}}}.$

Основные числа и веса могут быть и вещественными, и комплексными. При этом сумма весов не может быть 0, но могут быть некоторые, не все веса, равные 0.

Если все веса $w_{i}$ равны между собой, получается обычное среднее арифметическое. Существуют также взвешенные версии среднего геометрического и среднего гармонического, среднего степенного и их обобщения — среднего по Колмогорову.

Иногда сумма весов равна 1 (например, в голосованиях в процентах как весах), тогда формула упрощается:

${\bar {x}}=\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}\cdot x_{i}=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\ldots +w_{n}x_{n}.$

Примеры использования

В физике

Средняя скорость тела

Если тело в течение промежутка времени $t_{1}$ движется со скоростью $v_{1}$, затем в течение следующего промежутка времени $t_{2}$ — со скоростью $v_{2}$ и так далее до последнего промежутка времени $t_{n}$, в течение которого оно движется со скоростью $v_{n}$, то средняя скорость движения тела за суммарный промежуток времени ($t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{n}$) будет равна взвешенному среднему арифметическому скоростей $v_{1},\ldots ,v_{n}$ с набором весов $t_{1},\ldots ,t_{n}$:

$v_{cp}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}t_{i}\cdot v_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}t_{i}}}={\dfrac {t_{1}v_{1}+t_{2}v_{2}+\ldots +t_{n}v_{n}}{t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{n}}}.$

Центр масс

Другим примером использования данного понятия в физике является центр масс системы материальных точек, который задаётся формулой:

${\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}m_{i}}}={\dfrac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}+\ldots +m_{n}{\vec {r}}_{n}}{m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{n}}},$

где ${\vec {r}}_{c}$ — радиус-вектор центра масс,
${\vec {r}}_{i}$ — радиус-вектор i-й точки системы,
$m_{i}$ — масса i-й точки.

Температура смеси нескольких порций одной жидкости с разными температурами

$t_{cp}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}m_{i}\cdot t_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}m_{i}}}={\dfrac {m_{1}t_{1}+m_{2}t_{2}+\ldots +m_{n}t_{n}}{m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{n}}}.$,

где $t_{cp}$ — полученная температура смеси,
$t_{i}$ — температура i-й порции,
$m_{i}$ — масса i-й порции.

В экономике

Средневзвешенный курс валюты

$C_{cp}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}C_{i}\cdot b_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}}}={\dfrac {b_{1}C_{1}+b_{2}C_{2}+\ldots +b_{n}C_{n}}{b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}},$

где $C_{cp}$ — средневзвешенный курс,
$C_{i}$ — цена по i-ой сделке,
$b_{i}$ — объем i-ой сделки.

См. также

• Парадокс Симпсона
• Медианта