Полноторие

Полното́рие (полното́рий) — трёхмерная фигура, ограниченная тором, а также топологическое пространство, гомеоморфное этой фигуре, то есть прямое произведение $D^{2}\times S^{1}$ двумерного диска и окружности. Неформально, полноторие — бублик, тогда как тор — только его поверхность (пустотелая камера колеса).

Свойства[править | править код]

Полноторие может быть получено как фигура вращения круга радиуса $r$ вокруг оси, лежащей в плоскости этого круга, находящийся на расстоянии $R$ от его центра.
Объём полнотория как следствие из второй теоремы Гульдина: $V=2\pi ^{2}Rr^{2}$ , где $r$ — радиус образующего круга, а $R$ — расстояние от центра образующего круга до оси вращения (см. рисунок).
Полноторие является трёхмерным компактным многообразием с краем. Это многообразие является связным и ориентируемым.
Полноторие гомотопически эквивалентно окружности $S^{1}$ . Отсюда следует, что полноторие и окружность имеют одинаковые фундаментальные группы и группы гомологий:

\pi _{1}(S^{1}\times D^{2})\cong \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z}

H_{k}(S^{1}\times D^{2})\cong H_{k}(S^{1})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\0&k\geq 2\end{cases}}