Презентация урока алгебры 9 класс Макарычев Ю.Н. Решение неравенств методом интервалов

30.11 Решение неравенств методом интервалов

Равносильные преобразования неравенств.

Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не меняя при этом знак неравенства.

Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знак неравенства.

Основные правила решения неравенств.

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный

Решаем неравенства :

1.

Все действия на слайде – последовательно щелчком мышки.

х

-4

Ответ:

4

4

13х - 1 2 . Решение : 5х + 6х – 3 13х – 1 5х + 6х – 13х 3 – 1 -2х 2 (: (-2)) х -1 \\\\\\\\\\\\\\\\\ Ответ: (-∞; -1) x " width="640"

5х + 3(2х – 1) 13х - 1

2 .

Решение : 5х + 6х – 3 13х – 1

5х + 6х – 13х 3 – 1

-2х 2 (: (-2))

х

-1

\\\\\\\\\\\\\\\\\

Ответ: (-∞; -1)

x

Решение квадратных неравенств методом интервалов.

• Разложить квадратный трехчлен на множители, воспользовавшись формулой ах 2 +вх+с=а(х-х 1 )(х-х 2 ).
• Отметить на числовой прямой корни квадратного трехчлена.
• Определить на каких промежутках трехчлен имеет положительный или отрицательный знак.
• Учитывая знак неравенства, включить нужные промежутки в ответ.

16 б) х 2 +5 0 х 2 -16 0 Ответ: верно при ( х-4)(х+4) 0 любом значении Х. в) х 2 + 5 Ответ: не имеет Ответ:(-∞;-4) U (4;+∞) решений. " width="640"

Решение неравенств

2 . Решить квадратное неравенство:

а) х 2 16 б) х 2 +5 0

х 2 -16 0 Ответ: верно при

( х-4)(х+4) 0 любом значении Х.

в) х 2 + 5

Ответ: не имеет

Ответ:(-∞;-4) U (4;+∞) решений.

Решение неравенств

Решить квадратное неравенство:

2 способ (метод интервалов): х 2 +6х+8

Рассмотрим функцию у = х 2 +6х+8

Нули функции х 2 +6х+8=0

х 1 =-4; х 2 =-2

( x+4)(x+2)

Ответ: -4

Самостоятельная работа

Вариант 1.

Вариант 2.

Решите неравенства методом интервалов:

Проверь своё решение

Вариант 2.

Вариант 1.

а)

а)

+

–

+

–

+

+

x

x

-4

-3

0,4

2,5

Ответ:

Ответ:

б)

б)

+

+

–

+

+

–

x

x

-3/2

-2/3

1/3

1/2

Ответ:

Ответ:

1

Решим неравенство

Если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что - х 0 корень многочлена кратности k .

1) Данный многочлен имеет корни:

x = -5, кратности 6; x = -2, кратности 3; x = 0, кратности 1;

x = 1, кратности 2; x = 3, кратности 5.

2) Нанесем эти корни на числовую ось.

!

!

–

–

–

–

+

+

3) Определим знак многочлена на каждом интервале . Теперь легко ответить на вопрос задачи, при каких значениях  х  знак многочлена неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим:

4) Запишем ответ:

Обобщая ваши наблюдения, делаем выводы:

• Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом

• При четном k многочлен справа и слева от х 0 имеет один и тот же знак (знак многочлена не меняется)

• При нечетном k многочлен справа и слева от х 0 имеет противоположные знаки (знак многочлена изменяется)
• При нечетном k многочлен справа и слева от х 0 имеет противоположные знаки (знак многочлена изменяется)

Решите неравенство

1 вариант:

2 вариант:

Сделайте выводы о смене знака на интервалах, в зависимости от степени кратности корня.

Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов

1 . Привести данное неравенство к виду

2. Разложить числитель и знаменатель дроби на множители;

3. Нанести на числовую ось числа, при которых каждый множитель равен нулю и разделить числовую ось на промежутки;

4.Изобразить выбитыми те точки, которые не являются решением неравенства;

5. Выяснить знаки промежутков;

6. Выбрать ответ.

Самостоятельная работа. Решить неравенства:

1 вариант 2 вариант

• а)5х+4
• б)х 2 + 3х-4≥ 0 б)х 2 -5х-36
• в)(х+5)(х-7) 0
• г)(х-1) 2 (2х-1)(х+2)≤ 0 г)(х-2) 2 (5х+4)(х-7)≥0
• д) д)

4 1. x≤-3 2. x≤-4; x≥1 2. -43. -54. -25. -3≤x≤-2; x5 5. x≤-8: -21. х 4 1. x≤-3 2. x≤-4; x≥1 2. -45 5. x≤-8: -2" width="640"

Проверь себя:

• 1 Вариант 2 Вариант
• 1 Вариант 2 Вариант

1. х 4 1. x≤-3

2. x≤-4; x≥1 2. -4

3. -5

4. -2

5. -3≤x≤-2; x5 5. x≤-8: -2

• 1. х 4 1. x≤-3 2. x≤-4; x≥1 2. -45 5. x≤-8: -2

Самостоятельная работа

Решите неравенства методом интервалов:

Вариант 2.

Вариант 1.

а) (2х-5)(х+3)≥0

б) 4х 2 +4х-3

в) (х-3)(х+1)

х

а) (5х-2)(х+4)

б) 9х 2 +3х-2≥0

в) (х+2)(х-4)

х

≤ 0

≤ 0

Проверь своё решение

Вариант 2.

Вариант 1.

а)

а)

+

–

+

–

+

+

x

x

-4

-3

0,4

2,5

Ответ:

Ответ:

б)

б)

+

+

–

+

+

–

x

x

-3/2

-2/3

1/3

1/2

Ответ:

Ответ:

Проверь своё решение

Вариант 1.

Вариант 2.

в) (х-3)(х+1)

х

ОДЗ: х≠0

- + - +

-1 0 3

Ответ: (-∞;-1] U (0;3]

в) (х+2)(х-4)

х

ОДЗ: х≠0

- + - +

-2 0 4

Ответ: (-∞;-2]U(0;4]

≤ 0

≤ 0