Формула Гаусса — Бонне

Формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.

Формулировка

Пусть $\Omega$ — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой границей $\partial \Omega$. Обозначим через $K$ гауссову кривизну $\Omega$ и через $k_{g}$ геодезическую кривизну $\partial \Omega$. Тогда

$\int \limits _{\Omega }K\,d\sigma +\int \limits _{\partial \Omega }k_{g}\,ds=2\pi \chi (\Omega ),$

где $\chi (\Omega )$ — эйлерова характеристика $\Omega$.

В частности, если у $\Omega$ нет границы, получаем

$\int \limits _{\Omega }K\,d\sigma =2\pi \chi (\Omega ).$

Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.

История

Частный случай этой формулы для геодезических треугольников был получен Фридрихом Гауссом, Пьер Оссиан Бонне и Жак Бине независимо обобщили формулу на случай диска ограниченного произвольной кривой; Бине не опубликовал статьи на эту тему, но Бонне упоминаеет об этом на странице 129 своей Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces. Для неодносвязных областей формула появляется в работе Вальтера фон Дика. Современная формулировка дана Вильгельмом Бляшке.

Вариации и обобщения

• Формула Гаусса — Бонне естественно обобщается на области с кусочно-гладкой границей. Если в точке излома $P_{i}$ касательный вектор ${\boldsymbol {\tau }}$ разворачивается на угол $\phi _{i}$ в сторону области $\Omega$ (может быть положительное или отрицательное число), то формула обобщается до такой:

  $\int \limits _{\Omega }K\,d\sigma +\int \limits _{L}k_{g}\,ds+\sum _{i}\phi _{i}=2\pi \chi (\Omega ).$

• Обобщённая формула Гаусса — Бонне — обобщение формулы на старшие размерности.
• Неравенство Кон-Фоссена — обобщение на некомпактные поверхности.
• Теорема сравнения Топоногова уточняет следующее следствие формулы Гаусса — Бонне: любой треугольник на полной поверхности неотрицательной гауссовой кривизны имеет сумму углов хотя бы $\pi$.

См. также

• Формула Гаусса

Ссылки

• С. Е. Степанов, Теорема Гаусса—Бонне, СОЖ, 2000, № 9, с. 116—121.
• Wu, Hung-Hsi. "Historical development of the Gauss-Bonnet theorem". Science in China Series A: Mathematics 51.4 (2008): 777—784.